Re: uuu

Il 06 Ott 2008, 22:25, dido <mresseNOSPAM@libero.it> ha scritto:
> Valter Moretti ha scritto:
> ...zip...

> A pag 443-444 fa la considerazione che hai richiamato con la segunte
logica:
> la funzione d'onda e' il prodotto del fattore spaziale, di spin e di
> specificazione quarkica (non ha ovviamnete ancora introdotto il colore,
> lo fa il paragrafo dopo ndr); poiche' lo spin e la parte quarkica sono
> simmetriche _deve_ essere antisimmetrica la parte spaziale e allora
> costruisce una funzione d'onda invariante per rotazione e traslazione e
> antissimmetrica.
> "... non e' una funzione semplice, ma, in linea di principio e'
> possibile [si legge spesso che una funzione d'onda antisimmetrica con
> L=0 non si puo' scrivere, ma questo non e' vero]"

Dov'è che si legge questa affermazione? Come dice Valter sul Caldirola
Cirelli Prosperi? Quello che mi risulta è che la funzione d'onda ad un grado
di libertà verifica questa regola nota: P = (-1)^L, ma da nessuna parte ho
letto che questo sia vero per più gradi di libertà, per quanto io stesso lo
abbia scritto una volta :-((( (con pronta correzione da parte di Elio Fabri,
che ringrazio) purtroppo senza alcuna attenuante, perchè sui miei testi
questo non l'ho trovato scritto . Ciò che rimane valido per un sistema di
più particelle non interagenti in un campo a simmetria centrale è che la
parità è (-1)^z con z la somma dei momenti angolari delle parti, motivo per
cui considerando tre elettroni non interagenti, in stato p in un campo
centrale, siccome è possibile sommare i primi due momenti a spin 1 ed
aggiungere un terzo elettrone, ancora con spin 1, per ottenere spin 0 si ha
facilmente uno stato dispari con momento angolare nullo. Ed ovviamente anche
il contrario ovvero con due elettroni in stati p ottenere uno stato di
momento angolare 1 pari.

Tuttavia il problema dell'OP non mi sembrava fosse con questo genere di
considerazioni, cita correttamente la particella Delta, anche se forse, come
ha sottolineato Valter pensava davvero alla necessità dei gradi di colore
per considerazioni differenti da quelle energetiche, ovvero per supposta
ostruzione all'esistenza di una funzione d'onda antisimmetrica, in tal caso
è stato ampiamente argomentato che non è questo il caso, ma questo l'Op non
lo ha scritto esplicitamente. Quello che lui propone tuttavia, è che uno
stato di spin 1/2 ovvero due quark in spin zero (antisimmetrizzati, dunque)
ed uno ancora ad ottenere spin 1/2 abbassi l'energia del sistema. Da notare
comunque che questo stato, come esce dalle tavolette di Clebsch Gordan non
risulta essere né simmetrico né antisimmetrico. E che tanto l'operazione di
simmetrizzazione completa, quanto quello di antisimmetrizzazione completa si
annullano su questo stato. Occorre allora ricorrere alla simmetrizzazione
parziale che corrisponde al diagramma di Young:

**
*

con la convenzione che lungo le righe si simmetrizza ed i risultati si
simmetrizzano per scambio fra indici scelti uno per riga. La
rappresentazione che si ottiene del gruppo delle permutazioni è irriducibile
di dimensione due. Corrisponde una controparte angolare con l'identico
diagramma di Young ed ancora si ha una rappresentazione bidimensionale ed è
immediato riconoscere che nessuno stato fattorizzato i cui fattori
appartengano agli spazi bidimensionali relativi alla parte angolare e di
spin rispettivamente può essere totalmente antisimmetrico, per via
dell'irriducibilità della rappresentazione del gruppo simmetrico rispetto ai
singoli fattori. Un teorema di Weyl tuttavia, se non erro, garantisce che
esiste una combinazione lineare di prodotti di queste funzioni che è
totalmente antisimmetrica, e deve avanzare anche una certa libertà se è
possibile, come è possibile (Goddard), costruire funzioni d'onda che sono al
tempo stesso autostati di spin. Si può forse argomentare che siccome il
grado di antisimmetria per scambio di due indici è meno marcato rispetto al
caso di funzione d'onda totalmente antisimmetrica si abbia meno energia
totale, ma non sono convinto di questa argomentazione. Non so a voi, ma a
me, per le suddette ragioni, in queste condizioni di simmetria, che
sembrerebbero imporsi per lo spin totale 1/2, non risulta affatto intuitivo
che si possa costruire una funzione d'onda totalmente antisimmetrica che sia
simultaneamente autostato di spin e di momento angolare, c'è un modo furbo
di mostrare che è possibile?

Nel caso uuu la sitazione è molto più semplice, se non si aggiungono i
numeri di colore, la parte di spin ha diagramma

***

totalmente simmetrico e parte orbitale:

*
*
*

totalmente antisimmetrica. Non è ovviamente possibile una parte di spin
totalmente antisimmetrica a tre spin:
***
perchè l'antisimmetrizzazione annulla qualunque combinazione di funzioni di
due soli argomenti.


> segue obiezione, sensata, sul valor medio alto dell'enegia cinetica dei
> tre quark all'interno del barione.

Tipicamente i termini spettroscopici relativi ad un atomo p^3 (Azoto,
Fosforo, ...) sono 2^P,D,4^S. Ovvero lo stato in onda S ha spin 3/2: 3/2,
1/2, -1/2, -3/2. Ed energeticamente non è favorito perchè l'antisimmetria
introducendo luoghi nodali nella funzione d'onda aumenta l'energia cinetica,
pure se ciò compete con la circostanza che la repulsione coulombiana che
invece è diminuita. Nel caso in questione tuttavia, il campo non è centrale
e la forza forte è attrattiva anzichè repulsiva, quindi lo svantaggio
energetico è doppio? E' corretta quest'osservazione, oppure è sbagliato dire
che l'energia di legame è abbassata dalla antisimmetria della funzione
d'onda? Quello che mi lascia perplesso è la struttura di questi luoghi
nodali. La funzione d'onda orbitale per tre quark è in uno spazio a 9
dimensioni la condizione di totale antisimmetria implica che la funzione è
nulla nei luoghi r1 = r2, r2= r3, r1=r3 ed infine r1=r2=r3, che hanno
dimensione rispettivamente 6 , 6 , 6 , 3. Abbiamo infine che la funzione
d'onda verifica la condizione psi(r1,r2,r3) = - psi(-r1,-r2,-r3) con quel
che consegue sull'esistenza di ulteriori varietà nodali quantomeno
bidimensionali.

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