Minimizzazione funzionale d'azione

Salve...

vorrei porvi la seguente questione:

Dato S funzionale d'azione:

S=int_t1^t2 (L dt)
(S = Integrale di L in dt tra t1 e t2)

ed L=L(q,v,t) la lagrangiana di un dato sistema.

Se minimizzo il funzionale d'azione ottengo le equazioni di eulero
lagrange ossia le equazioni del moto.

Ora se scrivo:
L' = L  + d/dt( f(q,f) )

cioè sommo a L la derivata temporale di una funzione che dipende solo
da q e da t,
minimizzo nuovamente il funzionale di azione
S'=int_t1^t2 (L' dt)

trovo che  dS' = dS, quindi le due lagrangiane danno le stesse
equazioni del moto.


Fino a qui ci sono. Se però scrivo le equazioni di Eulero-Lagrange
direttamente, ottengo che quelle per L sono diverse da quelle per L',
perché:


DL/Dq = DL/Dq + D/Dq(df/dt)

e
D/Dq(df/dt) = D^2 f/Dq^2 * v  + D^2 f/DqDt  che non mi sembra sia
zero...

(D/Dq= derivata parziale)
Come si spiega?